习题 A.1

A.1.1 命题“要么X真，要么Y真，但不得二者同真”的否定是什么？
答：陶哲轩指出：数理逻辑的一条基本公理是，每个良好构成的命题都或是真的，或是假的，而不可两者都是。那么命题X和命题Y都只存在为真或为假两种状态，我们可以将它们的组合罗列出来：

我们可以很明显地看出，题目当中的命题只在绿色字体部分才为真，即X和Y里面有且只有一个为真，那么红色字体部分就是题设命题的否命题了，总结一下就是“X和Y同真或同假”。

我们也可以用符号推导的方式取得上述答案，首先将原命题用符号表述出来：

(X\ and\ not\ Y)\ or\ (not\ X\ and\ Y)

取得该命题的否定就是在前面加not，可得：

\begin{aligned}
    &not\ \left[(X\ and\ not\ Y)\ or\ (not\ X\ and\ Y)\right]\\
    \Rightarrow&\left[not\ (X\ and\ not\ Y)\right]\ and\left[\ not\ (not\ X\ and\ Y)\right]\\
    \Rightarrow&\left[(not\ X\ or\ Y)\right]\ and\ \left[(X\ or\ not\ Y)\right]\\
    \Rightarrow&(not\ X\ and\ not\ Y)\ or (Y\ and\ X)
\end{aligned}

也就是我们用表格推导出来的内容。

A.1.2 命题“X真当且仅当Y真”的否定是什么？
答：陶哲轩在书中指出：命题“X不真”或“X是假的”，或“X不成立”叫做X的否定。那么我们把X换成题设当中的命题就可以得到题设命题的否定了，即X真当且仅当Y真不成立，也就是说X和Y并没有逻辑等价，也可以说X可以在Y假时为真或在Y真时为假、Y可以在X真时为假或在X假时为真。

A.1.3 假定你已经证明了只要X是真的，Y就是真的，并且只要X是假的，Y就是假的。你是否已经证明了X和Y是逻辑等价的？解释一下。
答：逻辑等价的要求是两部分，分别是：第一，只要X真，则Y真；第二，只要Y真，则X真。题设已经假设我们证明了只要X真，则Y真。如果我们由假设条件可以推导出“只要Y真，则X真”，那就证明了X和Y是逻辑等价的了，那么当Y真时，X可以为假么？由于X假必有Y假，故而当Y真时，X只能为真，也就是说我们确实可以推知“只要Y真，则X真”。由此可知，当我们完成了题设相关证明时，我们就已经证明了X和Y是逻辑等价的。

A.1.4 假定你已经证明了只要X是真的，Y就是真的，并且只要Y是假的，X就是假的。你是否已经证明了X真当且仅当Y真？解释一下。
答：由于“X和Y是逻辑等价的”和“X真当且仅当Y真”是同一个命题的两种表述方式，故而当前习题和A.1.3的证明过程是比较相似的。X真当且仅当Y真要求“只要X真则Y真；只要Y真则X真”，题设已经假设我们证明了“只要X真则Y真”，剩下的问题就是我们能否从已知条件中推得“只要Y真则X真”了，或者说当Y真时，会有约束条件会限制X不能为假么？结果是没有的，当Y真时，X可以为真或为假，所以由题设条件无法推知X和Y逻辑等价。

我们可以举一个反例来说明这个命题是不成立的，令X代表“x=0”，Y代表“x为偶数”。我们可以很明显地看出，当X为真时，Y就是真的（x=0当然是偶数），然后Y是假时，X也是假（x不为偶数自然不等于0）。显然，X和Y不是逻辑等价的。

A.1.5 假定你知道X真当且仅当Y真，并且你还知道Y真当且仅当Z真。这是否足以表明X，Y，Z都是逻辑等价的？解释一下。
答：由题设条件可知X和Y逻辑等价，Y和Z逻辑等价，只要我们可以证明X和Z逻辑等价，那么X，Y，Z自然都是逻辑等价的。我们来逐项地验证X和Z逻辑等价的前提条件：第一，当X为真时，由于X和Y逻辑等价，则Y真，由于Y又和Z逻辑等价，则由Y真可推知Z真，即有X为真则Z真。第二，当Z为真时，由于Y和Z等价，则Y真，由于Y又和X逻辑等价，则由Y真可推知X真，即有Z为真则X真。所以我们推知了X和Z逻辑等价，由此表明X，Y，Z都是逻辑等价的。

A.1.6 假定你知道只要X真那么Y也真，只要Y真那么Z也真，只要Z真那么X也真。这是否足以表明X，Y，Z都是逻辑等价的？解释一下。
答：根据A.1.5的结论，如果我们可以推知X和Y逻辑等价，同时Y和Z逻辑等价，那我们就可以说明X，Y，Z都是逻辑等价的。我们先来看看X和Y如何逻辑等价：X真则Y真是题设条件，Y真会有Z真，Z真会有X真，也就是说Y真会有X真成立，于是证明了X和Y逻辑等价。同理可以证明Y和Z也是逻辑等价的，这就说明了X，Y，Z都是逻辑等价的。

A.5.1 下述每个命题是什么意思，它们当中哪个是真的？你能为每个命题做一个游戏比喻吗？
(a) 对于每个正数x，以及每个正数y，有y^2=x。
答：错的，x=y=3时就不成立了。
(b) 存在一个正数x，使得对于每个正数y，有y^2=x。
答：错的，y=x+1时，命题就不成立了。
(c) 存在一个正数x，并存在一个正数y，有y^2=x。
答：对的，x=y=1时命题就成立了。
(d) 对于每个正数y，存在一个正数x，有y^2=x。
答：对的。
(e) 存在一个正数y，使得对于每个正数x，有y^2=x。
答：错的，不存在这样的正数y。

A.7.1 设有4个实数a，b，c，d，并且知道a=b，c=d。使用上述4条公理来导出a+d=b+c。
答：由于a=b成立，由代入公理可知a+d=b+d成立。由于c=d，由对称公理可知d=c，再由代入公理可知b+d=b+c。利用传递公理就可以推知a+d=b+c了。